02 离散时间系统和离散信号变换
取样和内插
取样
取样：从连续时间信号中提取离散样本的过程，即时间轴上离散化的过程。
\[
\hat{x}_a(t) = x_a(t) \delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_a(t) \delta(t - nT) \\
x(n) = x_a(t)|_{t=nT} = x_a(nT)
\]
- \(T\)：取样周期
- \(f_s= \frac 1 T\)：取样频率
- $\Omega_s=2\pi f_s $：取样角频率
奈奎斯特取样定理：
（重点！）当
\[
T=\frac 1 {f_s} \le \frac 1 {2f_m}
\]
\(\hat{x_a}(t)\) 的频谱 \(\hat{X_a}(\Omega)\) 不发生混叠，可以不失真地恢复 \(x_a(t)\)。
奈奎斯特取样频率：
\[
f_s = 2f_m
\]
内插
TODO
离散时间信号 & 系统
常用时间序列及运算
正弦序列
\[
x(n) = \sin(n\omega)
\]
数字角频率 \(\omega\)：
- \(\omega = \Omega T_s\)，单位是弧度
- 表示序列变化的速率
重要参数关系：
\[
\omega = \Omega T_s = \frac {\Omega} {f_s}
\]
周期序列
正弦（余弦、指数）序列周期性的判别：
\[
\frac {2\pi} {\omega_0} = \frac N M
\]
卷积的计算
\[
y(n) = \sum_{k= -\infty}^{\infty} x_1(k)x_2(n-k)
\]
离散时间系统的描述与特性
Note
要求会证明各种性质，PPT 49 页之前
线性非时变系统（LTI）
离散时间系统
\[
|x(n)| < \infty \rightarrow |y(n)| < \infty
\]
重要推论，对于 LTI，稳定的充要条件：
$$
\sum_{k= -\infty}^{\infty} |h(k)|<\infty
$$
LTI 系统的差分方程
递归型（IIR，无限冲激响应）
一句话。
非递归型（FIR，有限冲激响应）
一句话。
信号流图
能列写方程就行。
离散时间傅里叶变换（DTFT）
定义
\[
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jn\omega}
\]
上式收敛的条件，收敛才存在 DTFT：
$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x(n)e^{-jn\omega}| = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x(n)| < \infty
$$
\[
x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{jn\omega} d\omega
\]
求下列信号 DTFT：
- \(x_1(n) = 2\delta(n) - \delta(n-1) + 3\delta(n-2) + \delta(n-4)\)
- \(x(n)=0.5^n u(n)\)
- \(x(n)=\cos(n\omega_0)\)
解 1：
\[
\begin{aligned}
X_1(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)e^{-jn\omega} \\
&= 2\delta(n)e^{-jn\omega}\Big|_{n=0} - \delta(n-1)e^{-jn\omega}\Big|_{n=1} + 3\delta(n-2)e^{-jn\omega}\Big|_{n=2} + \delta(n-4)e^{-jn\omega}\Big|_{n=4} \\
&= 2 - e^{-j\omega} + 3e^{-j2\omega} + e^{-j4\omega}
\end{aligned}
\]
解 2：
\[
\begin{aligned}
X(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jn\omega}
&= \sum_{n=0}^{\infty} 0.5^n e^{-jn\omega} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} (0.5 e^{-j\omega})^n \\
&= \frac{1}{1 - 0.5 e^{-j\omega}}
\end{aligned}
\]
推论：\(a^n u(n) \overset{DTFT}{\underset{|a|<1}{\longleftrightarrow}} \frac{1}{1 - ae^{-j\omega}}\)
解 3：
\[
\begin{aligned}
\mathcal{F}[\cos(n\omega_0)] &= \mathcal{F}\left[\frac{1}{2}(e^{jn\omega_0} + e^{-jn\omega_0})\right] \\
&= \pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\delta(\omega - \omega_0 - 2\pi k) + \delta(\omega + \omega_0 - 2\pi k)]
\end{aligned}
\]
性质
线性
对于 IIR 系统差分方程 \(y(n) = \sum_{m=0}^{M} b_m x(n-m) - \sum_{k=1}^{N} a_k y(n-k)\)
\[
\begin{aligned}
Y(e^{j\omega}) &= \mathcal{F}\left[ \sum_{m=0}^{M} b_m x(n-m) - \sum_{k=1}^{N} a_k y(n-k) \right] \\
&= \sum_{m=0}^{M} b_m \mathcal{F}[x(n-m)] - \sum_{k=1}^{N} a_k \mathcal{F}[y(n-k)]
\end{aligned}
\]
时移
\[
x(n-n_0) \stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow} e^{-jn_0\omega} X(e^{j\omega})
\]
频移
\[
e^{jn\omega_0} x(n) \stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow} X(e^{j(\omega - \omega_0)})
\]
周期性
\[
X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})
\]
时间翻转
\[
x(-n) \stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow} X(e^{-j\omega})
\]
共轭
\[
x^*(n) \stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})
\]
微分
\[
nx(n) \stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow} j \frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}
\]
对称性
难点，没看懂
调制定理
频谱搬移
时域相关定理
若 r(n) 是实信号 x(n) 和 h(n) 的相关函数，有：
\[
r(m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)h(m+n) \stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow} R(e^{j\omega}) = X^*(e^{j\omega})H(e^{j\omega})
\]
与卷积的区别：
-
形式相似
-
可以利用卷积计算相关，不过要把 x(n) 翻转后再卷积
-
物理意义不同：卷积描述的是离散系统；相关是两个信号的相似性，与系统无关
LTI 系统的频率响应
有点题 TODO
Z 变换
定义
用于把差分方程变成代数方程。
\[
X(z) = \mathcal{Z}\{x(n)\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}
\]
\[
x(n) = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z)z^{n-1}dz
\]
z 变量可以拆解为：\(Re(z) + jIm(z)=re^{j\omega}\)
收敛域
- 收敛域：对于任意序列 x(n)，使其 Z 变换收敛的所有 z 值集合
- 收敛条件：\(|X(z)| = \left| \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)z^{-n} \right| < \infty\)
Warning
-
并非所有的序列 x(n) 都存在 Z 变换
-
Z 变换并非在 z 平面上处处存在
有限长序列
在区域 \(0 < |z| < \infty\) 上，可满足 \(|x(n)z^{-n}| < \infty\)，因此有限长序列的收敛域为：
\[
0 < |z| < \infty
\]
（不包含 \(0\) 和 \(\infty\) 值）
在特殊的 \(n_1, n_2\) 值下，收敛域会有不同。
右边序列
\[
R_{x-} < |z|< \infty
\]
但因果序列：
\[
R_{x-} < |z| \leq \infty
\]
左边序列
\[
0 < |z| < R_{x+}
\]
但当 \(n_2 \leq 0\) 时，收敛域包含 \(z=0\) ：
\[
|z| < R_{x+}
\]
双边序列
若满足 \(R_{x^-} < R_{x^+}\)：
\[
R_{x^-} < |z| < R_{x^+}
\]
若不满足 \(R_{x^-} < R_{x^+}\)：
例题 1
求 \(x(n) = a^n u(n)\)
解
\[
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u(n) z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n
\]
当 \(|az^{-1}| < 1\) 即 \(|z| > |a|\) 时，上式收敛为：
\[
X(z) = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a}
\]
\(X(z)\) 极点为 \(z = a\) 且 \(x(n)\) 为右边序列，故 ROC: \(|z| > |a|\)
例题 2
求 \(x_1(n) = -b^n u(-n-1)\) 的 Z 变换
解：
\[
X_1(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} -b^n z^{-n}
\]
令 \(m = -n\)，则当 \(n = -\infty\) 时，\(m = \infty\)；
当 \(n = -1\) 时，\(m = 1\)。因此：
\[
X_1(z) = \sum_{m=1}^{\infty} -b^{-m} z^{m} = -\sum_{m=1}^{\infty} (b^{-1} z)^{m}
\]
这是一个等比级数，当 \(|b^{-1} z| < 1\) 即 \(|z| < |b|\) 时收敛为：
\[
X_1(z) = - \left( \frac{b^{-1} z}{1 - b^{-1} z} \right) = - \frac{z}{b - z} = \frac{z}{z - b}
\]
\(X_1(z)\) 极点为 \(z = b\) 且 \(x_1(n)\) 为左边序列，故 ROC: \(|z| < |b|\)
例题 3
例： 设 \(x(n) = a^n u(n) - b^n u(-n-1)\)
求：\(X(z)\)
解：
$$
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} - \sum_{n=-\infty}^{-1} b^n z^{-n}
$$
\[
= \left\{ \frac{z}{z - a}, \text{ROC}: |z| > |a| \right\} + \left\{ \frac{z}{z - b}, \text{ROC}: |z| < |b| \right\}
\]
\[
= \frac{z}{z - a} + \frac{z}{z - b}; \quad \text{ROC}: \text{ROC1} \cap \text{ROC2}
\]
若 \(|b| \leq |a|\)，则收敛域是一个空集，\(X(z)\) 不存在；
若 \(|a| < |b|\)，则收敛域为 \(|a| < |z| < |b|\)，\(X(z)\) 存在于此区域。
常用 Z 变换对
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
序列 & Z 变换 & 收敛域 \\
\hline
\delta(n) & 1 & \forall z \\
\hline
u(n) & \frac{1}{1 - z^{-1}} & |z| > 1 \\
\hline
-u(-n-1) & \frac{1}{1 - z^{-1}} & |z| < 1 \\
\hline
a^n u(n) & \frac{1}{1 - az^{-1}} & |z| > |a| \\
\hline
-b^n u(-n-1) & \frac{1}{1 - bz^{-1}} & |z| < |b| \\
\hline
[a^n \sin \omega_0 n] u(n) & \frac{(a \sin \omega_0) z^{-1}}{1 - (2a \cos \omega_0) z^{-1} + a^2 z^{-2}} & |z| > |a| \\
\hline
[a^n \cos \omega_0 n] u(n) & \frac{1 - (a \cos \omega_0) z^{-1}}{1 - (2a \cos \omega_0) z^{-1} + a^2 z^{-2}} & |z| > |a| \\
\hline
na^n u(n) & \frac{az^{-1}}{(1 - az^{-1})^2} & |z| > |a| \\
\hline
-nb^n u(-n-1) & \frac{bz^{-1}}{(1 - bz^{-1})^2} & |z| < |b| \\
\hline
\end{array}
\]
Z 反变换：留数法
例题 1
Z 变换的性质
频域分析
判断稳定性
零极点和频率响应的关系
-
对于 0～π 弧度的数字频率 ω，\(e^{j\omega}\) 离滤波器极点越近，零点越远，则幅度就越大
-
极点附近出现峰值 靠近单位圆的极点，将导致滤波器形状在某一频率上有非常大的幅值；当极点在单位圆上时，频响出现 \(\infty\)，极点在单位圆外，系统不稳定
-
零点附近频响出现谷值 靠近单位圆的零点，将导致滤波器形状在某一频率上有非常小的幅值；零点在单位圆上时，频响为零，零点可以在单位圆外
-
幅值大小的剧烈变化可增加滤波器的选择性
全通系统
系统的幅度响应恒为 1 或其他常数。
极点和零点均以共轭对出现，形成四个零极点一组的形式。
最小相位系统
如果离散线性时不变因果稳定系统的系统函数的所有零点，都在 z 平面的单位圆内，则称该系统为最小相位系统。
在幅频特性相同的条件下，最小相位系统具有最小的相位延迟。