7 参数估计

点估计

在 $l=1,2,\dots,k$ 的条件下，总体 X 的 $k$ 阶（原点）矩：

\[ \mu_l=E\left(X^l\right)=\sum_{x\in R_x}x^lp(x;\theta_1,\theta_1,...,\theta_k) \]

\[ \mu_l=E\left(X^l\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^lf(x;\theta_1,\theta_1,...,\theta_k)dx \]

样本 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 的前 $k$ 阶矩：

\[ A_l=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^l \]

总体矩	样本矩
一阶 $EX$	$A_1=\overline{X}=\frac 1n \sum x_i $
二阶 $EX^2$	$A_2=\frac 1n \sum x_i^2$

STEP 1：

\[ L=\prod_{i=1} ^n f(x_i) \]

STEP 2：求 $\ln L$。

STEP 3：求对应参数的偏导 = 0。

\[ E(\hat \theta) = \theta \]

如果 $D(\widehat \mu_1) \le D(\widehat \mu_2)$ 则 $\widehat \mu_1$ 更为有效。

\[ \lim_{n\to+\infty}P(|\widehat{\theta}-\theta|<\varepsilon)=1 \]

\[ P(\widehat{\theta}_{1}\leq\theta\leq\widehat{\theta}_{2})=1-\alpha \]

估计	条件	枢轴变量	区间
$\mu$	$\sigma^2$ 已知	$\frac{\overline{x}-u}{\sigma}\sqrt{n}\sim N(0,1)$	$\left[\overline{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_\frac{\alpha}{2},\overline{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_\frac{\alpha}{2}\right]$
$\mu$	$\sigma^2$ 未知	$\frac{\overline{x}-u}{S}\sqrt{n}\sim t(n-1)$	$\left[\overline{x}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_\frac\alpha2(n-1),\overline{x}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_\frac\alpha2(n-1)\right]$
$\sigma^2$	$\mu$ 已知	$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}\sim \chi_{(n)}^{2}$	$\left[\frac{\sum\left(x_{i-\mu}\right)^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}\left(n\right)}^{2}},\frac{\sum\left(x_{i-\mu}\right)^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}\left(n\right)}^{2}}\right]$
$\sigma^2$	$\mu$ 未知	$\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$	$[\frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}(n-1)}^{2}},\frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}(n-1)}^{2}}]$

样本方差：

\[ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \]

估计	条件	枢轴变量	区间
\(\mu\)	\(\sigma^2\) 已知	\(\frac{\overline{x}-u}{\sigma}\sqrt{n}\sim N(0,1)\)	\(\left[\overline{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_\frac{\alpha}{2},\overline{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_\frac{\alpha}{2}\right]\)
\(\mu\)	\(\sigma^2\) 未知	\(\frac{\overline{x}-u}{S}\sqrt{n}\sim t(n-1)\)	\(\left[\overline{x}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_\frac\alpha2(n-1),\overline{x}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_\frac\alpha2(n-1)\right]\)
\(\sigma^2\)	\(\mu\) 已知	\(\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}\sim \chi_{(n)}^{2}\)	\(\left[\frac{\sum\left(x_{i-\mu}\right)^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}\left(n\right)}^{2}},\frac{\sum\left(x_{i-\mu}\right)^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}\left(n\right)}^{2}}\right]\)
\(\sigma^2\)	\(\mu\) 未知	\(\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)\)	\([\frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}(n-1)}^{2}},\frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}(n-1)}^{2}}]\)

总体矩	样本矩
一阶 \(EX\)	$A_1=\overline{X}=\frac 1n \sum x_i $
二阶 \(EX^2\)	\(A_2=\frac 1n \sum x_i^2\)