6 样本及抽样分布
\(\chi^2\) 分布
\(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) 为来自总体 \(N(0,1)\) 的样本,则统计量
\[
\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2
\]
服从自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布,记为 \(\chi^2{\sim}\chi^2(n)\)。
其概率密度如下，\(k\) 为自由度：
\[
f(x)=\begin{cases}\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}&\mathrm{for}~x\geq0\\0&\mathrm{otherwise}&\end{cases}
\]
- 可加性：\(X_1{\sim}\chi^2(n_1)\)，\(X_2{\sim}\chi^2(n_2)\) 相互独立，则 \(X_1+X_2{\sim}\chi^2(n_1+n_2)\)
- 数字特征：\(E(X)=n\)、\(D(X)=2n\)
\(t\) 分布
\(X{\sim}N(0{,}1)\) 和 \(Y{\sim}\chi^2(n)\) 相互独立，则：
\[
t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}
\]
其概率密度：
\[
f(t)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi} \Gamma(\frac{\nu}{2})}\biggl(1+\frac{t^2}{\nu}\biggr)^{-(\nu+1)/2}
\]
\(F\) 分布
设 \(U{\sim}\chi^2(d_1)\)，\(V\sim\chi^2(d_2)\)，且 \(U\)、\(V\) 独立，则称随机变量
\[
F = \frac{U/d_1}{V/d_2}
\]
服从 \((d_1,d_2)\) 自由度的 F 分布，记为 \(F \sim F(d_1,d_2)\)。
抽样分布定理
前提：当总体为正态分布。
定理一（样本均值分布）
设 \(X_1, X_2,\dots,X_n\) 是取自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，则有：
\[
\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}n)\quad\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)
\]
定理二（样本方差分布）
设 \(X_1, X_2,\dots,X_n\) 是取自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\overline X\) 和 \(S^2\) 分别是样本均值和样本方差。则有：
\[
\frac {(n-1)S^2} {\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
\]
\(\overline X\) 和 \(S^2\) 相互独立。
定理三（样本均值与方差关系）
\[
\frac {\overline X -\mu} {S / \sqrt n} \sim t(n-1)
\]
定理四（两总体样本）
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