3 多维随机变量及其分布
边缘分布和随机变量的独立性
边缘分布
二维离散型边缘分布
\[
\begin{cases}
F_{X}(x)=F(X\leq x,y<+\infty)=F(x,+\infty) \\
F_{Y}(y)=F(X<+\infty, Y\leq y)=F(+\infty,y)
\end{cases}
\]
二维连续型边缘分布
\[
F_{X}(x)=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{x} \left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \right]dx
\]
随机变量独立的条件
当两个随机变量相互独立时： $$ F(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y) $$
离散型独立条件
\[
P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)
\]
连续型独立条件
\[
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
\]
条件分布
离散型条件分布
对于固定的 \(j\)，有： $$ P\big(X=x_i\big|Y=y_j\big)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2, \dots $$ 记为 \(F_{X|Y}(x|y_j)\)。
连续型条件概率
\[
f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}
\]
两个随机变量函数的分布
二维离散型分布
\[
P\{Z=z_k\}=P\{g(X,Y)=z_k\}=\sum_{g(x_i,y_j)=z_k}p_{ij}
\]
二维连续型分布
\[
F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=P\{(X,Y)\in D_Z\}=\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y) dxdy
\]
几个重要函数分布
\(Z=X+Y\)
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y) dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-y) dx
\]
若 X、Y 相互独立：
\[
f_Z(z)=f_X\times f_Y(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(z-y) f_Y(y)dy
\]
\(Z = X-Y\)
和 X+Y 差不多。
\(Z = XY\)
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(\frac zy,y\right)\frac1{|y|}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\frac zx)\frac1{|x|}dx
\]
若 X、Y 相互独立： $$ f_Z(z)=f_X\times f_Y(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(\frac zx)\frac1{|x|}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y\left(\frac zy\right)f_Y(y)\frac1{|y|}dy $$
\(Z = X/Y\)
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(yz,y)|y|dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\frac zx)\frac{|x|}{z^2}dx
\]
若 X、Y 相互独立： $$ f_Z(z)=f_X\times f_Y(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(\frac zx)\frac{|x|}{z^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(yz)f_Y(y)|y|dy $$
\(M=\max (X,Y)\)
\[
F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)
\]
\(N=\min (X,Y)\)
\[
F_N(z)=1-P(X>z,Y>z)
\]
\[
1-F_N(z)=[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]
\]