1 狭义相对论
伽利略变换与经典时空观
伽利略相对性原理
在所有匀速运动的参考系中，物理定律的形式都是相同的。
伽利略坐标变换
正变换：
\[
\begin{cases}
x'=x-ut\\
y'=y\\
z'=z\\
t'=t
\end{cases}
\]
逆变换：\(x'=x+ut\)
伽利略速度变换
\[
\vec{\nu}'=\frac{d\vec{r}'}{dt'}=\frac{d\vec{r}'}{dt}=\vec{\nu}-\vec{u}
\]
正变换：
\[
\begin{cases}
\nu_x'=\frac{dx'}{dt}=\nu_x-u\\
\nu_y'=\frac{dy'}{dt}=\nu_y\\
\nu_z'=\frac{dz'}{dt}=\nu_z
\end{cases}
\]
逆变换（速度合成公式）：
\[
\begin{cases}
\nu_x=\nu_x^{\prime}+u\\
\nu_y=\nu_y^{\prime}\\
\nu_z=\nu_z^{\prime}
\end{cases}
\]
伽利略加速度变换
\[
\vec{a}'=\frac{d\vec{\nu}'}{dt'}=\frac{d\vec{\nu}'}{dt}=\vec{a}
\]
经典时空观
时间绝对、空间绝对、时空分离。
狭义相对论的基本假设
相对性原理
- 物理定律在所有惯性系中都具有相同的形式
- 不存在绝对静止参考系
光速不变原理
- 在所有惯性系中，光在真空中的传播速率具有相同的值 \(c\)
- 伽利略速度变换不成立，需要新的坐标变换关系
- 存在不是无穷大的速度极限，光速 \(c\) 恰好是这个速度极限
洛伦兹变换
洛伦兹坐标变换
正变换
\[
\begin{cases}
&x^{\prime}=\frac{x-\nu t}{\sqrt{1-(\frac{\nu}{c})^{2}}}\\&y^{\prime}=y\\&z^{\prime}=z\\&t^{\prime}=\frac{t-\frac{\nu}{c^{2}}x}{\sqrt{1-(\frac{\nu}{c})^{2}}}
\end{cases}
\]
逆变换
\[
\begin{cases}
&x^{\prime}=\frac{x+\nu t}{\sqrt{1-(\frac{\nu}{c})^{2}}}\\&y^{\prime}=y\\&z^{\prime}=z\\&t^{\prime}=\frac{t+\frac{\nu}{c^{2}}x}{\sqrt{1-(\frac{\nu}{c})^{2}}}
\end{cases}
\]
洛伦兹速度变换
正变换
\[
\begin{cases}
u_x^{\prime}=\frac{u_x-\nu}{1-\frac\nu{c^2}u_x}\\u_y^{\prime}=\frac{u_y}{1-\frac\nu{c^2}u_x}\sqrt{1-\beta^2}\\u_z^{\prime}=\frac{u_z}{1-\frac\nu{c^2}u_x}\sqrt{1-\beta^2}
\end{cases}
\]
逆变换
\[
\begin{cases}
u_x=\frac{u_x'+\nu}{1+\frac\nu{c^2}u_x'}\\
u_y=\frac{u_y'}{1+\frac\nu{c^2}u_x'}\sqrt{1-\beta^2}\\
u_z=\frac{u_z'}{1+\frac\nu{c^2}u_x'}\sqrt{1-\beta^2}
\end{cases}
\]
例题
例：设 A、B 两飞船相对地球分别以 \(0.6c\) 和 \(0.8c\) 的速率相对飞行。求：
（1）在地面上看，两飞船的相对运动速度是多少？
$$
\nu=\nu_A+\nu_B=1.4c
$$
（2）在A、B飞船上看，对方飞船的运动速度是多少？
在 A 飞船参考系，地球运动速度为：
$$
u=-\nu_A=-0.6c
$$
由洛伦兹速度变换，B 飞船运动速度为：
$$
\nu_B^{\prime}=\frac{\nu_B-u}{1-u\nu_B/c^2}=\frac{0.8c+0.6c}{1+0.8\times0.6}=0.946c<c
$$
狭义相对论时空观
同时相对性
同时的话，\(\Delta t = 0\)：
$$
\Delta t^{\prime}=\gamma\left(\Delta t-\frac{\beta}{c}\Delta x\right)\Longrightarrow\Delta t^{\prime}=\gamma\left(-\frac{\beta}{c}\Delta x\right)\neq0
$$
时间间隔相对性
\[
\Delta t^{\prime}=\gamma\left(\Delta t-\beta\frac{\Delta x}{c}\right)={\Delta t}{\gamma}
\]
例：设在地球大气层上层，由于宇宙射线与大气分子碰撞，产生的 m 子以相对地球 \(0.99c\) 的速度运动。已知静止 m 子的寿命为 \(2.6\times 10^{-6}~s\)，求在地面参考系看，(1) m 子的寿命是多少？(2) 能飞行多远的距离？
解：在相对 μ 子静止的参考系，μ 子寿命是固有时间
\[
\Delta t^{\prime}=\Delta\tau=2.6\times10^{-6}s
\]
在地面参考系，μ 子寿命是一般时间
\[
\Delta t=\gamma\Delta\tau=2.6\times10^{-5}s
\]
飞行距离为 \(\Delta L=0.99c\times\Delta\tau=7.7\times10^3m\)
空间间隔相对性
在火车参考系，火车是静止的，所以火车的长度是固有长度：
\[
\Delta x^{\prime}=L_0
\]
在地面参考系，火车是运动的，所以火车的长度是一般长度：
\[
\Delta x=L=\frac{L_0}\gamma
\]
时空间隔不变性
定义：在某参考系中两个事件的时空间隔为
$$
\left(\Delta s\right)^2=\left(c\Delta t\right)^2-\left(\Delta x\right)^2-\left(\Delta y\right)^2-\left(\Delta z\right)^2
$$
\[
(\Delta s)^2 = (\Delta s')^2
\]
\[
\left(\Delta s\right)^2=\left(c\Delta t\right)^2-\left(\Delta x\right)^2-\left(\Delta y\right)^2-\left(\Delta z\right)^2=\left(c\Delta t\right)^2>0
\]
\[
\left(\Delta s\right)^2=-\left[\left(\Delta x\right)^2+\left(\Delta y\right)^2+\left(\Delta z\right)^2\right]<0
\]
\[
\left(\Delta s\right)^2=\left(c\Delta t\right)^2-\left(\Delta x\right)^2-\left(\Delta y\right)^2-\left(\Delta z\right)^2=0
\]
闵可夫斯基四维时空
\[
\begin{cases}
x_1=x \\
x_2=y \\
x_3=z \\
x_4=ict
\end{cases}
\]
则时空间隔为：
\[
-\left(\Delta s\right)^2=\left(\Delta x_1\right)^2+\left(\Delta x_2\right)^2+\left(\Delta x_3\right)^2+\left(\Delta x_4\right)^2
\]
狭义相对论动力学
相对论动量
\[
\vec{p}=m\vec{\nu}=\frac{m_0\vec{\nu}}{\sqrt{1-\nu^2/c^2}}=\gamma m_0\vec{\nu}
\]
相对论能量
动能 = 总能量 - 静能：
$$
E_k = E - E_0 = mc^2 - m_0c^2
$$
能量与动量的关系
\[
E^2 = p^2c^2 + E_0^2
\]
能量-动量变换
和洛伦兹变换形式类似：
\[
\begin{cases}
p_x^{\prime}c=\gamma\left(p_xc-\beta E\right) \\
p_y^{\prime}=p_y \\
p_z^{\prime}=p_z \\
E^{\prime}=\gamma\left(E-\beta cp_x\right) &
\end{cases}
\]