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1 分子动理论

温标

  • 华氏度（\(°F\)）
  • 摄氏度（\(°C\)）
\[ T_F = \frac 95 T_C+32 \]

理想气体状态方程

理想气体的实验定律

  • 波义耳定律：理想气体在等温情况下压强与体积成反比
  • 盖-吕萨克定律：理想气体在等压情况下，体积与温度成正比
  • 查理定律：理想气体在等体情况下，压强与温度成正比

状态方程

\[ PV = nTR \]
  • \(R \approx 8.31~J/mol\)​，普适气体常数
  • \(6.22 \times 10^{22}\)，阿伏伽德罗常数

道尔顿分压定律

如果气体有多种分子组成，\(k_B\) 为玻尔兹曼常数，各自的数密度为 \(n_1,n_2\dots\) $$ 𝑝=𝑛_1 𝑘_𝐵 𝑇+𝑛_2 𝑘_𝐵 𝑇+...=𝑝_1+𝑝_2+... $$

范德瓦尔斯方程

范德瓦尔斯考虑气体分子的体积和分子间的作用力，提出范德瓦尔斯方程，对 \(1mol\) 气体： $$ (𝑝+\frac 𝑎{𝑉^2} )(𝑉−𝑏)=𝑅𝑇 $$

理想气体的压强与温度

\[ 𝑝=\frac23 𝑛\bar{𝐸_𝑘}=𝑛𝑘_𝐵 𝑇 \]

能量均分定理

气体分子的自由度

描述物体空间位置的独立参数个数。

\[ i=t+r+s \]

由 \(n\) 个原子组成的分子，自由度最多为 \(3n\) 个自由度。

能量均分定理

  • 理想气体分子的平均平动动能 \(\bar{E_k}=\frac 32 k_B T\)​

  • 气体的平动自由度 \(t=3\)

  • 每个平动自由度 \(\bar{E}=\frac 12 k_B T\)

  • 当理想气体处于平衡态时，每个自由度的平均动能，和每个振动自由度的平均势能均相等，都是 \(\frac1 2 k_B T\)​

  • 理想气体分子的平均机械能： $$ \bar{E}_{一个分子}=(t+r+2s)\frac12k_BT $$

刚性分子的平均动能 \(\bar{E}_k=\frac i2k_BT\)

分子 自由度 平均动能
单原子分子 3 \(1.5k_BT\)
双原子分子 5 \(2.5k_BT\)
多原子分子 6 \(3k_BT\)

刚性分子理想气体的内能

  • 分子间没有势能，\(v~mol\) 气体的总能量只有动能： $$ E=vN_A\bar{E}_k=v\frac i2 RT $$

  • 理想气体的内能只和 T 有关，与 p、V 无关

麦克斯韦速率分布

定义

\[ \frac {dN_v} N =f(v)dv \]
  • \(dN_v\) 是速率 \(v\) 到 \(v+dv\) 间的分子数

物理意义：当 \(f(v)\) 在某个速率 \(v_0\)​ 处的值较大时，说明在平衡态下，速率接近的分子相对较多

归一化

\[ \int_0^{\infty} f(v)dv = 1 \]

计算平均值

  • 分子的平均速率 \(\bar{v}=\int_0^{\infty} vf(v)dv\)

  • 分子的物理量 A(v) 的平均值 \(\bar{A}(v)=\int_0^{\infty}A(v)f(v)dv\)

  • 分子的物理量 A(v) 在速率区间 \((v_1,v_2)\)​ 内的平均值 $$ \bar{A}(v) = \frac{\int_{v_{1}}^{v_{2}} A(v) f(v) dv}{\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) dv} $$

计算概率

在速率区间 \((v_1,v_2)\) 内的概率： $$ \int_{v_1}^{v_2}f(v)dv $$

三个特征速率

大小排序：

\[ v_p < \bar{v} < \sqrt{\overline{v^2}} \]

最概然速率 \(v_p\)​

当 \(\frac {df(v)} {dv}=0\) 时： $$ v_p=\sqrt{\frac{2k_BT}m} $$

平均速率 \(\bar{v}\)​

\[ \bar{v}=\int_{0}^{\infty}vf(v)dv=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}} \]

方均根速率

\[ \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \]

麦氏速率分布

\[ f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_B T}\right) \]

麦氏速度分布

\[ f(\vec{v})=\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(-\frac{m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2k_{B}T}\right) \]

麦氏动能分布

\[ f(E)=2\pi\left(\frac{1}{\pi k_{B}T}\right)^{\frac{3}{2}}(\frac{2E}{m})^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{E}{k_{B}T}\right) \]

玻尔兹曼分布

在重力场中，粒子的玻尔兹曼分布为： $$ f(h)\propto\exp\left(-\frac{mgh}{k_{B}T}\right) $$