6 离散 z 域分析
z 变换定义和收敛域
定义
\[
\begin{align*}
x_s(t) &= x(t) \cdot \delta_T(t) \\
&= x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\delta(t-nT)
\end{align*}
\]
对 \(x_s(t)\) 取拉普拉斯变换：
$$
\begin{align}
X_s(s) &= \mathcal{L}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\delta(t-nT)\right] \
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)e^{-snT}
\end{align}
$$
引入复变量 \(z = e^{sT}\)，得到我们的 z 变换：
$$
X[z]=X_s(s)\Big|{z=e^{sT}} = \sum
$$}^{\infty} x[n]z^{-n
收敛域
满足 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} \big|x[n]z^{-n}\big| < \infty\) 的区域。
典型序列的 z 变换
单位样值
\[
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]z^{-n} = 1
\]
ROC：整个 z 平面。
单位阶跃
\[
\begin{align*}
X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n]z^{-n} \\
&= 1 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} + \cdots
\end{align*}
\]
ROC：\(|z| < 1\)。
当 \(|z^{-1}|<1\) 时：
$$
X(z) = \frac z {z-1}
$$
斜变序列
\[
x[n] = n u[n]
\]
推导过程略（对 \(z^{-1}\) 求导）
$$
\sum_{n=0}^{\infty} nz^{-n} = \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} = \frac{z}{(z-1)^2}, \quad |z| > 1
$$
指数序列（右）
\[
x[n] = a^nu[n]
\]
\[
X(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \quad |z|>|a|
\]
指数序列（左）
\[
x[n] = -a^{n}u[-n-1]
\]
\[
X(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \quad |z|<|a|
\]
单边余弦序列
\[
x[n]=\cos (\Omega_0 n)u[n]
\]
\[
\begin{align}
X(z) &= \frac{1}{2} \left( \frac{z}{z - e^{j\Omega_0}} + \frac{z}{z - e^{-j\Omega_0}} \right) \\
&= \frac{z(z - \cos(\Omega_0))}{z^2 - 2z\cos(\Omega_0) + 1}, \quad |z|>1
\end{align}
\]
单边正弦序列
\[
x[n]=\sin (\Omega_0 n)u[n]
\]
\[
\begin{align}
\mathcal{Z}\{\sin(\Omega_0 n)u[n]\} &= \frac{1}{2j} \left( \frac{z}{z - e^{j\Omega_0}} - \frac{z}{z - e^{-j\Omega_0}} \right) \\
&= \frac{z\sin(\Omega_0)}{z^2 - 2z\cos(\Omega_0) + 1}, \quad |z|>1
\end{align}
\]
z 变换的性质
线性
\[
\mathcal{Z}\{ax[n]+by[n]\} = aX(z)+bY(z) \quad (R_1 < |z| < R_2)
\]
收敛域取重叠部分。
位移性
双边 z 变换位移
\[
\mathcal{Z}\{x[n-m]\} = z^{-m}X(z)
\]
收敛域：只会影响 \(z=0\)，\(z=\infty\) 处。
单边 z 变换位移
若 \(x[n]\) 为双边序列，其单边 z 变换为 \(\mathcal{Z}\{x[n] \cdot \bold{u[n]}\}\)。
右位移
\[
\mathcal{Z}\{x[n-m]u[n]\} = z^{-m}\left[X(z) + \sum_{k=-m}^{-1} x[k]z^{-k}\right]
\]
m 为正整数。
左位移
\[
\mathcal{Z}\{x[n-m]u[n]\} = z^{-m}\left[X(z) - \sum_{k=-m}^{-1} x[k]z^{-k}\right]
\]
序列线性加权
求加权序列 \(nx[n]\) 的 z 变换：
\[
nx[n] \leftrightarrow -z\frac{dX(z)}{dz} = -z^{-1}\frac{dX(z)}{dz^{-1}}
\]
我们可以推广得到：
\[
n^m x[n] \leftrightarrow \left[-z\frac{d}{dz}\right]^m X(z)
\]
序列指数加权（z 域尺度变换）
\[
a^n x[n] \leftrightarrow X\left(\frac{z}{a}\right) \quad \left(\text{ROC: } R_{x1} < \left|\frac{z}{a}\right| < R_{x2}\right)
\]
初值序列
若 \(x[n]\) 为因果序列，已知 \(X(z) = \sum _{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}\) 则：
终值定理
当 \(n \rightarrow \infty\)，\(x[n]\) 收敛，才可用终值定理。因果序列。
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x[n] = \lim_{z\rightarrow1}[(z-1)X(z)]
$$
条件：TODO
时域卷积定理
已知：
\[
\begin{align*}
X(z) &= \mathcal{Z}\{x[n]\} \quad (\text{ROC: } R_{x1} < |z| < R_{x2}) \\
H(z) &= \mathcal{Z}\{h[n]\} \quad (\text{ROC: } R_{h1} < |z| < R_{h2}) \\
\end{align*}
\]
那么：
\[
\mathcal{Z}\{x[n] * h[n]\} = X(z)H(z)
\]