4 连续系统的频域分析

系统的频域响应特性

系统函数（傅里叶形式）

\[ H(\omega)=\frac {R(\omega)}{E(\omega)} \]

$H(\omega)$ 可以写成 $H(j\omega)$

正弦激励下的稳态响应

$e(t)=\cos (\omega_0 t)$ 时： $$ r_{ss}= |H(\omega)|\cos \left[\omega_o t + \phi(\omega_o)\right] $$ 其中的参数：

\[ \begin{cases} H\left(\omega\right)=\frac\alpha{\alpha+\mathbf{j}\omega}\\ \left|H(\omega)\right|=\frac\alpha{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}} \end{cases} \]

\[ \phi(\omega)=-\arctan \frac \omega \alpha \]

$e(t)=\sin (\omega_0 t)$ 时： $$ r_{ss}= |H(\omega)|\sin \left[\omega_o t + \phi(\omega_o)\right] $$ 推广： $$ e\left(t\right)=\sum_{k=-\infty}^\infty E_k\mathrm{e}^{\mathrm{j}\bold{k}\omega_1t}\to r\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty E_k _{H\left(\bold{k}\omega_1\right)}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\bold{k}\omega_1t} $$

非周期信号经过系统的零状态响应

例题 3

已知输入信号 $f\left(t\right)=\mathrm{e}^{-t}u\left(t\right)$，系统的单位冲激响应为 $h(t)=\mathrm{e}^{-2t}u(t)$，求系统的零状态响应 $r_zs(t)$？ $$ \mathscr{F}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}u(t)\right]=\frac1{\alpha+\mathrm{j}\omega} $$

\[ r_{zs}(t)=f(t)*h(t) \]

\[ \begin{aligned} R_{zs}\left(\omega\right)& =F(\omega)H(\omega) \\ &=\frac1{1+\mathrm{j}\omega}\cdot\frac1{2+\mathrm{j}\omega}=\frac1{1+\mathrm{j}\omega}-\frac1{2+\mathrm{j}\omega} \end{aligned} \]

\[ r_{zs}\left(t\right)=\mathrm{e}^{-t}u\left(t\right)-\mathrm{e}^{-2t}u\left(t\right) \]

无失真传输

失真

非线性失真

半波整流：产生了直流项和谐波项。

线性失真

幅度失真

幅度失真 {: style="zoom: 60%"}

相位失真

\[ \begin{aligned}\cos(\omega_0t)&\to\left|H(\mathrm{j}\omega_0)\right|\cos\left[\omega_0t+\varphi(\omega_0)\right]\\&=\left|H(\mathrm{j}\omega_0)\right|\cos\left[\omega_0\left(t+\frac{\varphi(\omega_0)}{\omega_0}\right)\right]\end{aligned} \]

当 相延迟 为常数，延迟后各次谐波叠加方能不失真。 $$ \tau_p = -\frac {\phi(\omega_0)} {\omega_0} $$

无失真传输条件

无失真传输条件 {: style="zoom: 60%"} $$ r(t)= Ke(t-t_0) $$

频率响应特性

\[ \begin{cases} |H(j\omega)|=K \\ \phi(\omega) = -\omega t_0 \end{cases} \]

单位冲激响应

\[ \begin{cases} H(j\omega)=Ke^{-j\omega t_0} \\ h(t) = K\delta(t- t_0) \end{cases} \]