3 连续信号的频域分析

信号的正交分解

信号的正交函数分解

误差函数： $$ f_e(t) = f_1(t) - c_{12}f_2(t) $$ \(c_{12}\)​ 是 投影系数。

以矢量正交分解类比

• 两个矢量正交时，误差分量 最小。

信号正交的分量提取

\[ c_{12} = \frac {\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)\cdot f_2(t)dt} {\int_{t_1}^{t_2}f_2^2(t)dt} \]

\(c_{12}=0\)，则两个函数位正交函数，满足 $$ \int_{t_1}^{t_2} f_1(t)\cdot f_2(t)dt = 0 $$

例题1

余弦函数在 一个周期内 不包含正弦函数。

实正交函数集

所有函数两两正交。任意实信号 \(f(t)\) 可表示为 n 维 正交函数 之和。

例题3：三角函数集是正交函数集

证明三角函数数集 \(\left\{\sin(k\omega_0 t), \cos(k\omega_0 t)\right\}, k = 0, 1, 2, \dots\) 在区间 \((0, T_0)\) 上，其中 \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\)，是正交函数数集。

复变正交函数集

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} g_{i}(t) g_{j}^{*}(t) d t=\left\{\begin{array}{ll}0& i\neq j\\ K_{i}& i=j\end{array}\right. \]

则这个复变函数集为正交函数集。

例题4：虚指数函数集是正交函数集

\(\left\{e^{j k\omega_{1} t}\right\}, k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\) 在区间 \(\left(0, T_{1}\right)\) 上是正交函数集，其中 \(2\pi T_{1} = \omega_1\)。

完备正交函数集

不解释。

帕塞瓦尔定理

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} |f(t)|^2dt = \sum_{r=1}^\infty \int_{t_{1}}^{t_{2}} |c_rg_r(t)|^2dt \]

一个信号的能量（功率）= 此信号在完备正交函数集中个分量能量（功率）之和。

周期信号的傅里叶级数分析

三角函数形式

• 周期信号 \(f(t)\)
• 基波周期 \(T_0\)
• 基波角频率 \(\omega_0 = 2\pi/T_0\)

\[ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos\left(n\omega_{0} t\right)+b_{n}\sin\left(n\omega_{0} t\right)\right] \]

\[ a_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} f(t) d t \]

\[ a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} f(t)\cos\left(n w_{0} t\right) d t \]

\[ b_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} f(t)\sin\left(n w_{0} t\right) d t \]

谐波形式： $$ f(t) = c_0+\sum_{k=1}^{\infty}c_k\cos(k\omega_0t+\phi_k) $$

• k = 0，\(c_0=a_0\) 称为 直流、平均值
• k = 1 称为基波（1 次谐波）

\[ c_{k}=\sqrt{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}\quad\left(c_{k}\geq 0\right)\quad\varphi_{k}=\arctan\left(-\frac{b_{k}}{a_{k}}\right) \]

指数函数形式

\[ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_{n} e^{j n\omega_{1} t} \]

其中的傅里叶级数 系数 \(F_n\)： $$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) e^{-j n\omega_{1} t} d t $$

例题1：幅度频谱图和相位频谱图

重要转换： $$ c\cos t = \frac 12c\left[e^{-jt}+e^{jt}\right] $$ 注意：中级序列的频谱不满足收敛性。

函数对称性与 \(F_k\) 的关系

• \(f(t)\)​ 为偶函数：\(F_k = \frac 12 a_k\)，为实函数。

• \(f(t)\) 为奇函数：\(F_k = -\frac 12 jb_k\)​，为虚函数。

• 奇谐函数：平移半个周期并上下翻转，波形不变。

• 偶谐函数：平移半个周期与原波形重合。

帕塞瓦尔定理

\[ P = \frac{1}{T_1} \int_{0}^{T_1} |f(t)|^2 \, dt = \begin{cases} a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2) & \text{三角函数形式} \\ c_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} c_k^2 & \text{谐波形式} \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} |F(k\omega_1)|^2 & \text{指数形式} \end{cases} \]

周期矩形脉冲序列的频谱结构

三角形式的谱系数

\[ F_k=\frac12 a_k \]

指数形式的谱系数

\[ F_k=\frac {E\tau} {T_1} Sa(k\omega \frac \tau 2) \]

频谱及其特点

• 周期 \(T_1\)：谱线间隔 \(\omega_l = \frac{2\pi}{T_1}\)，\(T_1\) 越大，谱线间隔越小。

频带宽度

将包络函数的第一个零点作为信号的频带宽度： $$ B_{\omega} = \frac {2\pi} \tau $$ 系统的通频带 > 信号的带宽，才能 不失真。

典型非周期信号的傅里叶变换

表示方法

正变换： $$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt = \mathcal{F}[f(t)] $$ 反变换： $$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] $$

门函数 \(E[u(t + \frac{T}{2}) - t(t - \frac{T}{2})]\)

\[ F(\omega)=E\tau Sa(\frac\tau2 \omega) \]

单边指数 \(Ee^{-\alpha t}u(t)\)

\[ F(\omega)=\frac E {\alpha+j\omega} \]

直流 \(E\)

\[ F(\omega) = 2\pi E \delta(\omega) \]

冲激信号

\[ F(\omega) =1 \]

符号函数

\[ F(\omega) = \frac 2 {j\omega} \]

阶跃函数

\[ F(\omega) = \pi \delta(\omega) + \frac 1 {j\omega} \]

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