跳转至

2 系统的时域分析

冲激响应和阶跃响应

例题 2

给定系统微分方程为：$ \frac{d^2 r(t)}{dt^2} + 3 \frac{dr(t)}{dt} + 2r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 3e(t) $

激励信号为：\(e(t) = u(t)\)，起始状态为：\(r(0-) = 1\), \(r'(0-) = 2\)，试分别求它们的完全响应。

  1. 求零输入响应：

    • 零输入响应：方程右端为 0，故只有齐次解。
    • \(s_1 =-2,s_2=-1\) 得 \(r_{zi}(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t}\)。
    • 代入两个状态求待定系数。

  2. 求零状态响应：

    • \(h(t)=(A_1e^{-t}+A_2e^{-2t})u(t)\)​

    • \(h't(t)=(-A_1e^{-t}-2A_2e^{-2t})u(t)+(A_1+A_2)\delta(t)\)

    • \(h''(t) = (A_1 e^{-t} + 4 A_2 e^{-2t}) u(t) + (-A_1 - 2 A_2) \delta(t) + (A_1 + A_2) \delta'(t)\)

    • 只代入 奇异函数项：\(\left[(-A_1-2A_2)\delta(t)+(A_1+A_2)\delta'(t)\right] +3(A_1+A_2)\delta(t)=\delta'(t)+3\delta(t)\)​

    • 得到冲激响应 \(h(t) = (2e^{-t} - e^{-2t})u(t)\)

    • 对冲激响应积分得到零状态响应，同时也是阶跃响应： $$ g(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau) d\tau $$

  3. \(r(t) = r_{zi}(t) + r_{zs}(t) = -2.5e^{-2t} + 2e^{-t} +1.5\)​

    • 自由响应、强迫响应
    • 暂态响应、稳态响应

例题 3

已知某线性时不变系统，输入为 \(e(t)\)，输出为 \(r(t)\)，描述该系统的微分方程为

\[ \frac{\mathrm{d}^2 r(t)}{\mathrm{d} t^2} + 5 \frac{\mathrm{d} r(t)}{\mathrm{d} t} + 6r(t) = 3 \frac{\mathrm{d} e(t)}{\mathrm{d} t} + 2e(t) \]

求系统的单位冲激响应。

我们使用 齐次解法。 $$ \frac{d^2\hat{h}(t)}{dt^2} + 5\frac{d\hat{h}(t)}{dt} + 6\hat{h}(t) = \delta(t) $$

\[ \hat{h}(t) = \left(A_1 e^{-2 t} + A_2 e^{-3 t}\right) u(t) \]
\[ \hat{h}'(t) = \left(-2 A_1 e^{-t} - 3 A_2 e^{-3 t}\right) u(t) + \left(A_1 + A_2\right)\delta(t) \]
\[ \hat{h}''(t) = \left(4 A_1 e^{-t} + 9 A_2 e^{-3 t}\right) u(t) + \left(-2 A_1 - 3 A_2\right)\delta(t) + \left(A_1 + A_2\right)\delta'(t) \]

代入奇异函数项，得到： $$ \hat{h}(t) = \left(e^{-2 t} - e^{-3 t}\right) u(t) $$ 利用线性时不变： $$ h(t) = 3 \frac{d\hat{h}(t)}{d t} + 2 \hat{h}(t) $$

连续卷积

例题 4

\(f(t) = u(t) - u(t-1)\)，求卷积 \(s(t) = f(t) * f(t)\)​。

解析式法

\[ \begin{aligned} r(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) * u(t - \tau) d\tau \\ &= \int_{0}^{\infty} u(\tau) u(t - \tau) d\tau \quad \text{(因为 $u(\tau)$ 和 $u(t - \tau)$ 只在 $\tau \geq 0$ 时非零)} \\ &= \int_{0}^{t} 1 \cdot 1 d\tau \quad \text{(因为 $u(\tau) = 1$ 和 $u(t - \tau) = 1$ 对于 $\tau \leq t$)} \\ &= \int_{0}^{t} 1 d\tau \\ &= t \quad \text{(对于 $t \geq 0$)} \end{aligned} \]

图解法

当两个脉冲重合时，积分结果最大。

判断因果性和稳定性

因果 系统的单位冲激响应满足： $$ h(t) = 0 \quad (t<0) $$ 稳定 系统的单位冲激响应满足： $$ \int^{+\infty}_{-\infty}|h(t)|dt <\infty $$